利用拓扑排序求 DAG 最短路

本文介绍如何用拓扑排序来求 DAG 最短路（内附代码实现）。

背景

给定一张带负权边的有向无环图（DAG），$N$ 个点，$M$ 条边，求源点到各点的最短路。

分析

因为有负权边，无法用 dijkstra 直接求最短路。

用 SPFA 又容易被出题人卡成傻子。

考虑到是 DAG，可以使用拓扑排序在 $O\left( N+M \right)$ 时间范围内求出最短路。

步骤如下：

设源点为 $s$，点到源点的最短路用数组 $d[]$ 来储存，建一个队列 $q[]$ 给拓扑排序用，再建一个数组 $deg[]$ 用来存储每个点的入度。

初始化：将除了 $d[s]$ 以外的所有 $d[]$ 赋值为 $+\infty$，$d[s]$ 赋值为 $0$，队列 $q[]$ 为空，提前处理出每个点的 $deg$。

一、找出所有入度为 $0$ 的节点加入队列 $q[]$。

二、取出队首节点，设队首节点为 $p$，该点指向的点为 $j$，两点间的边的边权为 $w$。

三、将 $deg[j]$ 减一（删边），并用 $d[p]+w$ 来更新 $d[j]$。若 $deg[j]$ 被减为零，则让 $j$ 入队。

重复二到三，直到所有点的 $deg[]$ 都变成 $0$，即所有点都被访问过（此时队空）。

过程中所有的点和边都只被扫描了一次，时间复杂度为 $O\left( N+M \right)$。

其实仔细看整个过程会发现这就是在拓扑排序模板上加了一小点东西，也是在 SPFA 模板上加了一小点东西。

喜闻乐见，代码时间

#include<bits/stdc++.h>
const int N=114514;
using namespace std;
int n,m,s;
int h[N],nxt[N],to[N],w[N],cn;
int d[N];
int deg[N];
queue<int> q;
//变量名与前面一一对应
void add(int a,int b,int c){
	to[++cn]=b;
	w[cn]=c;
	nxt[cn]=h[a];
	h[a]=cn;
	deg[b]++;//在加边时顺便将 deg[] 处理出来
}
void topsort(int s){//拓扑排序，长得几乎和 SPFA 一模一样
	memset(d,0x3f,sizeof d);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!deg[i])q.push(i);
	}
	d[s]=0;
	while(q.size()){
		int p=q.front();
		q.pop();
		for(int i=h[p];i;i=nxt[i]){
			int j=to[i];
			d[j]=min(d[j],d[p]+w[i]);
			if(--deg[j]==0)q.push(j);
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%d%d%d",&n,&m,&s);
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int a,b,c;
		scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
		add(a,b,c);
	}
	topsort(s);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		printf("%d\n",d[i]);
	}
	return 0;
}

${\Huge \mathfrak{The\ End}}$