杂七杂八的公式和定理（律）

本贴用来存一些零散的公式以及定理或定律。

总之就是知识大乱炖。

等比数列求和公式

设 $\left\{a_i\right\}$ 为等比数列，公比为 $p$，$a_1$ 为第一项，前 $n$ 项和为 $S_n$，则有：

1. $p\ne 1$ ： $S_n=\frac{a_1(1-p^n)}{1-p}$
2. $p=1$ ： $S_n=n{a}_1$

当数列从 $1$ 开始，公比 $p$ 不为 $1$ 时，有：

$\sum _{i=0}^n{p}^i=\frac{1-p^{n+1}}{1-p}$

特别的，若 $p\in (0,1)$，有：

$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{p}^i=\frac{1}{1-p}$

重要的是后面两个（尤其最后一个）。