杂七杂八的公式和定理（律）

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本贴用来存一些零散的公式以及定理或定律。

总之就是知识大乱炖。

等比数列求和公式

设 $\left\{ a_{i} \right\}$ 为等比数列，公比为 $p$，$a_{1}$ 为第一项，前 $n$ 项和为 $S_{n}$，则有：

  1. $p\neq 1$ ： $S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-p^{n}\right)}{1-p}$
  2. $p=1$ ： $S_{n}=na_{1}$

当数列从 $1$ 开始，公比 $p$ 不为 $1$ 时，有：

$\sum_{i=0}^{n}p^{i}=\frac{1-p^{n+1}}{1-p}$

特别的，若 $p\in\left(0,1\right)$，有：

$\sum_{i=0}^{\infty}p^{i}=\frac{1}{1-p}$

重要的是后面两个（尤其最后一个）。