李雅普诺夫函数和H无穷控制自习

发表于 更新于 分类于

本文为李雅普诺夫函数和 H 无穷控制相关知识的自习笔记。

李雅普诺夫函数

在系统的设计和控制中，对平衡点的探究是必不可少的。

李雅普诺夫函数（Lyapunov function）是常微分方程和控制理论中用于判定系统平衡点稳定性的标量函数。

若一函数可能可以证明系统在某平衡点的稳定性，此函数称为李雅普诺夫候选函数，但李雅普诺夫候选函数还没有一般性的构建方法。

比较常见的有二次函数为单态系统提供李雅普诺夫函数，线性矩阵不等式（Linear Matrix Inequalities，LMI）为线性系统提供李雅普诺夫函数。

通过李雅普诺夫函数无需求解微分方程即可判定系统的稳定性。

满足条件

假设系统状态方程为 x˙=f(x)\dot{x}=f(x)，且在 x=0x=0 处有一个平衡点。则一个函数 VV 是这个系统的李雅普诺夫函数需要满足以下条件：

  1. 正定性：V(0)=0,V(x)>0,x≠0V(0)=0,\quad V(x)>0, x \neq 0，物理上来说就是只要系统偏离平衡点，其总能量就必定是正数；
  2. 导数负定性：V(x)˙<0,x≠0\dot{V(x)}<0, x\neq 0，其中 V˙\dot{V} 为 VV 对时间的导数，物理上来说即只要系统不处于平衡点，其总能量就随时间不断衰减。

稳定性判定

  1. 如果 V(x)˙≤0\dot{V(x)}\leq 0（半负定），系统是李雅普诺夫意义下的稳定，即能量不会增加；
  2. 如果 V(x)˙<0\dot{V(x)}< 0（负定），系统是渐进稳定的，即能量会不断减少直到系统回到平衡点。

二次型李雅普诺夫函数

工程上常用（尤其是系统状态 xx 为一个包含多个变量的向量的线性系统）二次型构建李雅普诺夫函数：

V(x)=xTPxV(x)=x^{T}Px

其中 PP 是一个正定对称矩阵（P>0P>0）。

此函数表示线性系统的能量，可以注意到诸如动能 12mv2\frac{1}{2}mv^{2} 和势能 12kx2\frac{1}{2}kx^{2} 都符合这种形式。

给定一个闭环系统 x˙=Ax\dot{x}=Ax，易得

V˙=x˙TPx+xTPx˙=(Ax)TPx+xTP(Ax)=xTATPx+xTPAx=xT(ATP+PA)x\begin{aligned} \dot{V} & = \dot{x}^{T} P x + x^{T} P \dot{x} \\ & = (Ax)^T P x + x^T P (Ax) \\ & = x^T A^T P x + x^T P A x \\ & = x^T (A^T P + PA) x \end{aligned}

由判定条件2，要求 V˙\dot{V} 负定，则 ATP+PAA^{T} P+PA 负定，于是有 LMI 的基础形式亦即连续系统李雅普诺夫方程：

ATP+PA<0A^T P + PA < 0

H∞H_{\infty}控制

系统的传递函数与特征方程

我们知道系统的特征方程即传递函数的分母多项式等于零得到的方程，系统的特征根则是传递函数的极点。

我们又知道系统稳定的充要条件是特征根全部分布在左半复平面，即传递函数极点全部在左半复平面。换句话说，传递函数在右半复平面解析。

我们引出一个函数空间——哈代空间。

控制理论中的哈代空间

在控制理论中，一个系统的传递函数属于哈代空间的充要条件是：

  1. 传递函数在右半复平面（ℜ(s)>0\Re(s)>0）解析；
  2. 传递函数的范数有限（即系统的放大倍数有限）。

常用的哈代空间有 H2H_2 空间和 H∞H_\infty 空间。

H2H_2 空间内传递函数在虚轴上幅值平方的积分是有限的。

H∞H_\infty 空间内传递函数在虚轴上幅值的最大幅值是有限的。

P-K 标准结构

控制理论中的 P-K 标准结构（通常指线性分数变换 LFT 结构）由广义被控对象 P 和控制器 K 组成。
结构包含：广义被控对象 P，控制器 K，外部输入 w，控制输入 u，评价输出 z，测量输出 y。

  1. P (Generalized Plant)：广义被控对象，包含受控实体、执行器、传感器、加权函数（频率特性要求）。
  2. K (Controller)：控制器，基于测量信号生成控制动作。
  3. w (Exogenous Inputs)：外部输入，如设定值、干扰、测量噪声。
  4. z (Controlled Outputs)：评价输出，如误差信号、控制能量加权后的输出（需要尽可能小）。
  5. y (Measured Outputs)：测量输出，控制器实际接收的传感器反馈。
  6. u (Control Signals)：控制输入，控制器输出的执行机构控制信号（控制 P 的信号）。

P 接收 wu，输出 zy；K 接收 y，输出 u。

P-K 结构的矩阵本质即下线性分式变换 LFT。
广义对象 PP 在本质上是分块矩阵：

[zy]=[P11P12P21P22][wu]\begin{bmatrix} z \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} P_{11} & P_{12} \\ P_{21} & P_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w \\ u \end{bmatrix}

上下分开得到：

  1. z=P11w+P12uz = P_{11}w + P_{12}u
  2. y=P21w+P22uy = P_{21}w + P_{22}u

同时已知控制器 KK 构成了反馈回路：

u=Kyu = K y

把 u=Kyu = Ky 代入 2 式中，再整体代入 1 式，得到直接从外界扰动 ww 到评价输出 zz 的闭环传递函数（记作 TzwT_{zw}）：

z=[P11+P12K(I−P22K)−1P21]wz = \left[ P_{11} + P_{12}K(I - P_{22}K)^{-1}P_{21} \right] w

方括号里的部分称为下线性分式变换（Lower Linear Fractional Transformation, 简称 Lower LFT），通常记为 Fl(P,K)F_l(P, K)。

H∞H_\infty 控制

H∞H_\infty 控制字面意思即控制系统传递函数使其处于 H∞H_\infty 空间，这意味着需要让系统稳定且传递函数幅值有限。

H∞H_\infty 控制的核心是存在未知外部扰动和系统建模不准确的情况下，找一个控制器，让闭环系统稳定，且抗干扰能力最强（即将外部扰动对输出的影响降到最低）。

根据控制理论的 P-K 标准结构，该问题的标准数学表述为：寻找一个控制器 K(s)K(s)，使得由 ww 到 zz 的闭环传递函数 TzwT_{zw} 满足内部稳定，且 ∣∣Tzw∣∣∞<γ||T_{zw}||_\infty < \gamma。

有了控制目标和工作框架，接下来介绍 H∞H_\infty 控制的一般设计步骤。

设计步骤

  1. 建立物理模型与状态空间方程：
    标准状态空间方程：x˙=Ax+Bww+Buu\dot{x} = Ax + B_w w + B_u u
  2. 定义广义被控对象与性能评价指标：
    明确什么是外部未知干扰 ww，什么是控制器输出 uu，并精准定义需要被极小化的评价输出 zz。确立 H∞H_\infty 性能指标，即 ∣∣Tzw∣∣∞<γ||T_{zw}||_\infty < \gamma。
  3. 构造李雅普诺夫函数并推导名义 LMI：
    假设一个控制律 u=Kxu=Kx，利用李雅普诺夫函数 V(x)=xTPxV(x) = x^T P x 证明闭环系统稳定，并将 H∞H_\infty 性能约束 V˙+zTz−γ2wTw<0\dot{V} + z^T z - \gamma^2 w^T w < 0 代入。然后将非线性不等式转化为线性矩阵不等式（LMI）。
  4. 引入工程现实约束：
    标准 H∞H_\infty 不注重物理约束。实际工程中，必须把各种现实条件加入来拓展 LMI。
  5. 构建并求解凸优化问题：
    汇总所有 LMI 约束，确立一个明确的优化目标函数。最后求解出控制器增益 KK。