矩阵的部分相关概念定义及其计算
本文为一些矩阵相关知识的自习笔记。
矩阵特征值
若存在标量 $\delta$ 和非零向量 $x$ 使矩阵满足方程 $Ax=\delta x(x\ne 0)$，则 $\delta$ 和 $x$ 为矩阵的特征值和特征向量。
特征值 $\delta$ 通过方程 $\mathrm{det}(A-\delta I)=0$ 求解。
性质
- 行列式：矩阵的行列式等于所有特征值的乘积（$\mathrm{det}(A)=\prod \delta_i$）；
- 迹：矩阵的迹（对角线元素之和）等于所有特征值的和；
- 相似矩阵：若 A 和 B 为相似矩阵（即存在 P 使 $P^{-1}AP=B$），则 A 和 B 具有相同的特征值；
- 特殊矩阵：三角矩阵的特征值就是其主对角线元素。
共轭转置矩阵
记作 $A^H$ 或 $A^*$。共轭转置即先将矩阵进行转置，再对每个元素取复共轭的操作。对于实数矩阵，共轭转置等同于普通转置。
矩阵的奇异值
A 的奇异值是 $A^{*}A$ 的特征值 $\delta_i$ 的非负平方根 $\sigma_i=\sqrt{\delta_i}$。
矩阵范数
矩阵范数用于度量矩阵的大小。常见有 1-范数，$\infty$-范数，Frobenius范数，2-范数。
MATLAB计算代码：norm(A, 1)，norm(A, inf)，norm(A, 'fro')，norm(A, 2)。
1-范数
$||A||_{1}$：矩阵列向量的绝对值之和的最大值（列和最大）。
$\infty$-范数
$||A||_{\infty}$：矩阵行向量的绝对值之和的最大值（行和最大）。
Frobenius范数
$||A||_{F}$：矩阵元素绝对值平方和的平方根，即 $\sqrt{\sum_{i,j}|a_{ij}|^{2}}$。
2-范数
$||A||_{2}$：矩阵的最大奇异值，即 $A^{*}A$ 最大特征值的平方根。